Обсуждение:Число Грэма

Чтобы хоть как-то представить себе масштаб числа, разберём его запись поподробнее. Тут нужна некая преамбула, но, в общем-то, ничего слишком сложного не будет, я постараюсь расписать всё как можно понятней.

Значит, в математике существует понятие «гипероператор» для определения уровня арифметических действий. Так, сложение – это гипероператор первого уровня. Гипероператор второго уровня – умножение. Умножение есть повторяющееся сложение. То есть, множитель – это число, которое говорит нам, сколько раз надо сложить умножаемую величину. Например: 3х3=3+3+3=9. Следующий гипероператор – возведение в степень, хх, либо х^x. Возведение в степень – это повторяющееся умножение. Пример: 33=3х3х3=27. Запись 33 в нотации Кнута будет выглядеть как 3↑3.

Здесь, возможно, для ясности следует сказать, что первая цифра в выражении 3↑3 - это, собственно, значение, с которым мы и производим действие (у Пети было три яблока...), количество стрелочек между цифрами - это арифметическое действие, в данном случае одна стрелочка означает возведение в степень. И вторая тройка означает то, в какую степень надо возвести первую тройку (сколько раз перемножить). Соответственно, если бы выражение было 7↑4, то это означает семь в четвёртой степени. Иначе говоря, 7 нужно умножить на 7 четыре раза.

Гипероператор четвёртого уровня – тетрация. Тетрация – это повторяющееся возведение в степень. В записи Кнута – две стрелки между цифрами. Пример: 33=3↑↑3 =3↑3↑3=327=7 625 597 484 987. То есть, если в случае с одной стрелкой мы тройку умножали на саму себя три раза, то здесь нужно три раза её возвести в степень. Как видите, тетрация–уже довольно мощный способ записи, то есть, позволяет коротеньким выражением записывать астрономически большие числа. Но это ещё не всё, тетрация – недостаточно мощный гипероператор для вычисления числа Грэма. Гипероператор пятого уровня – пентация, повторяющаяся тетрация. Три стрелочки между цифрами. Если вы думаете, что пентация числа 3 раскладывается на 3 в степени 7 625 597 484 987, то вы ошибаетесь. Вы даже не представляете, НАСКОЛЬКО ошибаетесь. Ибо 3 в степени 7 625 597 484 987 - это всего лишь 3↑↑4.

А пентация 3↑↑↑3=3↑↑(3↑↑3)=3↑↑(7 625 597 484 987)=3↑3…(количество возведений в степень - 7 625 597 484 987 раз)…↑3. То есть степенная башня из троек получается высотой в более чем семь с половиной триллионов этажей! Она вычисляется сверху, и сократив её всего на три тройки, мы получим на самом верху этой башни степень с тремя триллионами цифр. А под нами - ещё 7 625 597 484 983 этажа... Какой гугол, какой гуголплекс - результат пентации уже не влазит во Вселенную! 

И последний нужный нам, шестой, гипероператор – гексация. Это, соответственно, повторяющаяся пентация. Как вы уже догадались, четыре стрелочки между тройками. 3↑↑↑↑3=3↑↑↑(3↑↑↑3)=3↑↑3↑↑3… (Количество тетраций – результат вычисления пентации 3↑↑↑3. Если мы переместимся в самый конец этой немыслимой цепочки тетраций и начнём её вычислять, то уже вторая с конца тройка будет в тетрации 7 625 597 484 987-и. То есть, результат там будет уже равен пентации тройки. А перед нами - ещё гуголплексы и гуголплексы повторяющихся тетраций цифры 3) …↑↑3. Тут уже бесполезно что-то пытаться осмыслить, как-то охватить результат... И тут вы, возможно, спросите: «Неужели это число Грэма? Надо же, насколько громадное!» Но нет, это не число Грэма. Это была только математическая присказка, и она ничтожно, неизмеримо мала по сравнению с числом Грэма

Фабула. Значит, гексация. Это всего лишь добавление одной стрелочки к пентации, но результат оказывается в невообразимое количество порядков больший. А теперь, собственно, вычисление числа Грэма. Цифра три в примерах была использована не просто так, ибо число Грэма по сути и есть перемноженные тройки. Итак, назовём результат нашей гексации (3↑↑↑↑3) G1. Это будет первый шаг вычислений. Только первый. А следующий шаг ускоряет прогрессию так, что добавление одной, десяти, МИЛЛИОНА стрелок между цифрами - топтание на месте. Шаг второй, вычисление G2. Теперь мы берём результат нашей гексации тройки, и пишем выражение, где число стрелочек сверхстепени будет равно этому результату. G2=3↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑… (количество стрелочек сверхстепени – G1) …↑↑↑↑↑↑↑3. Интересно, как называется гипероператор ТАКОГО уровня?.. Запись не то что результата, но даже этого гипероператора уже невозможна без сокращения. А число, получившееся при его вычислении (если, конечно, его возможно было бы вычислить), заполнило бы своими цифрами и Вселенную, и параллельные миры, и подпространство, и всякий другой астрал. И не забываем, что в G1 количество стрелочек было равно 4-м! И это уже число, недоступное для вычисления и записи обычным способом! А в G2 это число - только количество сверхстепеней. Вот так-то. Прогрессия невероятно стремительная. И это только начало. Следующим шагом идёт вычисление числа G3, где количество стрелочек сверхстепени будет равно G2!

И, подобным образом, после этого следует ещё 62 шага вычислений, где результат каждого шага будет лишь количеством стрелок сверхстепени следующего шага, и число Грэма есть G64!

Чтобы хоть как-то представить себе масштаб числа, разберём его запись поподробнее. Тут нужна некая преамбула, но, в общем-то, ничего слишком сложного не будет, постараемся расписать всё как можно понятней.

1. Итак, в математике существует понятие «гипероператор» для определения уровня арифметических действий. Так, сложение – это гипероператор первого уровня. Гипероператор второго уровня – умножение. Умножение есть повторяющееся сложение. То есть, множитель – это число, которое говорит нам, сколько раз надо сложить умножаемую величину. Например: 3х3=3+3+3=9. Следующий гипероператор – возведение в степень, х^x, либо х^x, что по сути является повторяющимся умножением. Пример: 3³=3х3х3=27. Запись 3³ в нотации Кнута будет выглядеть как 3↑3. Здесь для ясности следует сказать, что первая цифра в выражении 3↑3 - это значение, с которым мы и производим действие, количество стрелочек между цифрами - это арифметическое действие, в данном случае одна стрелочка означает возведение в степень. Вторая цифра означает то, в какую степень надо возвести первую цифру (сколько раз перемножить на себя). Соответственно, если бы выражение было 7↑4, то это означает семь в четвёртой степени. Иначе говоря, 7 нужно умножить на 7 четыре раза.

2. Гипероператор четвёртого уровня – тетрация. Тетрация – это повторяющееся возведение в степень. В записи Кнута – две стрелки между цифрами. Пример: 3↑↑3 (по-другому записывается как ³3) =3³³=3²⁷=7 625 597 484 987. То есть,вторая цифра при наличии двух стрелок означает, что столько раз нужно возвести в степень самого себя первое число. Например, запись 5↑↑8 означает башню из восьми пятёрок, нагромождённых друг на друга как кубики.

Тем, чей мозг совсем заплыл жиром или занят лишь мыслями о том, как найти тян, вкачать своего эльфа или избавиться от прыщей, следует запомнить, что в тетрации выражения высчитываются сверху вниз или справа налево. Проще говоря, 3³³ равняется нихуя не 27³, а как раз-таки 3²⁷. Теперь ты видишь, мой маленький глупый друг, что тетрация – уже довольно мощный способ записи, позволяющий коротеньким выражением записывать числа в 100500 раз бо́льшие, чем само 100500. Но это ещё не всё, ибо она является недостаточно мощным гипероператором для вычисления числа Грэма.

3. Идём дальше: гипероператор пятого уровня – пентация (повторяющаяся тетрация). Три стрелочки между цифрами. Вот здесь-то и начинается пиздец, от которого люди, не являющиеся профессиональными математиками, плюют на всю эту лабуду и больше не пытаются её понять. Но ведь ты не такой как они? Если ты подумал, что пентация числа 3 раскладывается на 3 в степени 7 625 597 484 987, то ты ошибаешься. Ты даже не представляешь, НАСКОЛЬКО ошибаешься. Ибо 3 в степени 7 625 597 484 987 - это всего лишь 3↑↑4. А пентация это 3↑↑↑3=3↑↑(3↑↑3)=3↑↑(7 625 597 484 987)=3↑3…(количество возведений в степень - 7 625 597 484 987 раз)…↑3. То есть степенная башня из троек получается высотой в более чем семь с половиной триллионов этажей! Иначе говоря,вторая цифра при наличии трёх стрелочек означает, какой высоты будет башня тетраций первой цифры. Для большей наглядности: 3↑↑↑4 можно записать как ³³³3, либо 3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)). И здесь главное - понять, что эта башня из тетраций не есть башня из степеней, тут эскалация намного стремительнее. 3↑↑↑4=³³³3=^{7 625 597 484 9873}3. Понял, наконец? 3↑↑↑4 равняется 3 в тетрации числа, которое получается в результате вычисления степенной башни из цифры 3 высотой в 7 625 597 484 987 этажей.

Если ты начал потихоньку не понимать, что за херня здесь происходит, то заново перечитай пункт 2.

4. И последний нужный нам гипероператор – гексация. Как вы уже догадались, четыре стрелочки между тройками. Это, соответственно, повторяющаяся пентация. Вторая цифра при наличии четрёх стрелочек означает, какой высоты будет уже "пентационная" башня. . 3↑↑↑↑3=3↑↑↑(3↑↑↑3)=3↑↑3↑↑3…...3↑↑3, где количество тетраций – результат вычисления пентации 3↑↑↑3. Если опять ничего не понял, то заново прочитай пункт 3 и 2. Если мы переместимся в самый конец этой немыслимой цепочки тетраций и начнём её вычислять, то уже вторая с конца тройка будет в тетрации равна 7 625 597 484 987. А результатом тетрации третей тройки с конца будет являться число, полученное пентацией тройки в предыдущем пункте. А перед нами - ещё гуголплексы и гуголплексы повторяющихся тетраций цифры 3. Тут уже бесполезно что-то пытаться осмыслить, как-то охватить результат... И тут вы, возможно, спросите: «Неужели это число Грэма? Надо же, насколько громадное!» Но нет, это не число Грэма. Это была только математическая присказка, и она ничтожно, неизмеримо мала по сравнению с числом Грэма

Значит, гексация. Это всего лишь добавление одной стрелочки к пентации, но результат оказывается в невообразимое количество порядков больший. А теперь, собственно, вычисление числа Грэма. Цифра три в примерах была использована не просто так, ибо число Грэма по сути и есть перемноженные тройки. Итак, назовём результат нашей гексации (3↑↑↑↑3) G1. Это будет первый шаг вычислений. Только первый. А следующий шаг ускоряет прогрессию так, что добавление одной, десяти, МИЛЛИОНА стрелок между цифрами - топтание на месте. Шаг второй, вычисление G2. Теперь мы берём результат нашей гексации тройки, и пишем выражение, где число стрелочек сверхстепени будет равно этому результату. G2=3↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑… (количество стрелочек сверхстепени – G1) …↑↑↑↑↑↑↑3. Интересно, как называется гипероператор ТАКОГО уровня?.. Запись не то что результата, но даже этого гипероператора уже невозможна без сокращения. А число, получившееся при его вычислении (если, конечно, его возможно было бы вычислить), заполнило бы своими цифрами и Вселенную, и параллельные миры, и подпространство, и всякий другой астрал. И не забываем, что в G1 количество стрелочек было равно 4-м! И это уже число, недоступное для вычисления и записи обычным способом! А в G2 это число - только количество сверхстепеней. Вот так-то. Прогрессия невероятно стремительная. И это только начало. Следующим шагом идёт вычисление числа G3, где количество стрелочек сверхстепени будет равно G2! И, подобным образом, после этого следует ещё 62 шага вычислений, где результат каждого шага будет лишь количеством стрелок сверхстепени следующего шага, и число Грэма есть G64!

Ваистену, матан иногда штырит похлеще любых наркотиков.