Участник:Kp9r4d/Четвёртое измерение
Материал из Lurkmore
 | Эта статья находится на доработке. Эта статья всё ещё не взлетела и не соответствует нынешним реалиям /lm/. Но добрый Kp9r4d приютил её в своём личном пространстве, и теперь она может Модераторам: выпустить Дата последней правки страницы: 23.08.2015 |
Четвёртое измерение (быдл. 4D, матан. R4), — философская и математическая концепция, недоступная для понимания почти никому.
Содержание |
История
Началось всё, видимо, с Декарта[1], который подметил, что каждой точке на плоскости можно сопоставить пару чисел и, таким образом, говорить о прямых, окружностях и треугольниках как о решении некоторых уравнений. Например любая прямая задаётся уравнением ax+by+c=0, это ровно то, что анонимус проходит в школе, классе эдак в шестом-седьмом. Тот же самый трюк можно провести и в пространстве, только каждой точке пространства сопоставить не пару чисел, а тройку, до чего, однако, додумался лишь Клеро в 18 веке. Позже, веке эдак в 19ом, таким людям как Риман, Шлефли и Гильберт пришла в голову примерно одинаковая мысль: если точка на плоскости — это пара чисел, точка в пространстве — это тройка чисел, то почему бы не сказать, что точка в некотором четырёхмерном пространстве — это четвёрка чисел? И всё заверте…
Существует ли на самом деле?
| « |
Всякий раз, когда ломаешь кирпич, видишь только его поверхность. А то, что у кирпича есть что-то внутри, – всего лишь теория, которая помогает нам лучше понять природу вещей. | » |
| — Ричард Фейнман | ||
Вопрос философский и однозначно на него ответить нельзя, так как у каждого это самое «на самом деле» своё. Проще всего к этому относится так: есть математика, в которой есть логические конструкции, а есть реальность, в которой есть показания приборов — результаты экспериментов. Никакого естественного наложения математики на реальность нету. Физик/экономист/эколог/демограф может взять на вооружение конкретную конструкцию, если циферки в ней получаются похожие на те, что он видит в экспериментах, а может и не взять. То есть в реальности, например, нет никакого закона гравитации Ньютона — это математическая модель, которая хорошо предсказывает такие реальные величины как скорость падения яблока на Землю, скорость движения Земли вокруг Солнца, с какой скоростью и под каким углом нужно запустить снаряд, чтобы он попал куда надо и прочие кошерные вещи. Так вот, четырёхмерное пространство — это математическая конструкция и существует она в той же мере, что и число «1», «квадрат» или что-угодно другое из того, что Марьивановна рассказывала на матеше.
Физическое пространство
| « |
Если бог есть и если он действительно создал землю, то, как нам совершенно известно, создал он ее по эвклидовой геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трех измерениях пространства. | » |
| — Алеша. «Братья Карамазовы» | ||
Анону может показаться, что есть независимое ни от какой математики понятие физического трёхмерного пространства или физического четырёхмерного пространства-времени, ну в котором он сейчас находится, например, и поэтому хочется спросить, а есть ли галактики или, там, параллельные миры, где есть настоящее физическое четырёхмерное пространство или физическое пятимерное пространство-время? Так вот, никакого истинно настоящего физического трёхмерного пространства, ровно как и четырёхмерного, нету, а есть лишь много-много опытных фактов о метрических и порядковых отношениях в нашем реальном мире, полученных опытным путём, и вот как раз удобная математическая конструкция для их описания — это «трёхмерное евклидово пространство». Вообще вопрос, опять же, дурно попахивает гносеологией, поэтому существуют и альтернативные мнения как ко всему этому нужно относится, однако анону который не в теме лучше всего относится к этому именно так.
Время
Часто можно услышать, что четвёртое измерение — это время. Правда в том, что четырёхмерным пространством в некоторых физических теориях, например, в специальной теории относительности или в ньютоновской кинематике, моделируется наше с вами пространство-время, при этом это самое четырёхмерное пространство не очень обычное, временные и пространственные оси играют в нём разную роль. Поэтому говорить о том, что четвёртое измерение — это время, без соответствующего контекста соответствующих физических теорий, нельзя. В математике, да и в десятках других мест, четырёхмерные пространства упоминаются без всякой отсылки ко времени.
Зачем и кому нужно?
В точных науках концепт многомерия используется в том или ином виде довольно часто. А ещё это источник вдохновения для разной степени годности фильмов, книжек, видеоигр, головоломок и прочего, что тоже довольно-таки приятно.
Математика
Если говорить не конкретно о четырёхмерном пространстве, а вообще об n-мерном, то нужны они прежде всего самой математике, многие математические факты, высказанные на геометрическом языке n-мерных пространств становятся либо более очевидными, либо видны под новым углом, что тоже хорошо. Многомерные пространства дают новый язык, творческий потенциал геометрической интуиции стало возможным подключить к огромному классу задач. В современном изложении даже самый обычный матан и линал, методы которых используются чуть более, чем в 90% приложений математики вообще, немыслим без n-мерных пространств. Серьезно.
- Закон больших чисел в теории вероятностей на геометрическом языке означает, что масса n-мерного шара, при больших n, в основном сосредоточена возле его границы. Например, если у 1000-мерного арбуза радиусом 1 метр отрезать корку толщиной 1 см, то останется не более 1% от его первоначального объема.
- Существование самокорректирующихся кодов Шеннона, юзающиеся в этой вашей криптографии, на геометрическом языке означает, что в n-мерном пространстве очень много почти перпендикулярных друг другу векторов.
- Метод наименьших квадратов, использующийся всякими статистами, можно переоткрыть просто спроектировав точку в n-мерном пространстве на k-мерное подпространство.
- Метод множителей Лагранжа, используемый экономистами, экологами, демографами да и вообще почти всеми, кто ставит хоть какие-то задачи оптимизации, на геометрическом языке означает вложение некоторых k-мерных пространств в n-мерные.
И подобных примеров десятки. Отдельно стоит отметить, что все эти n-мерные пространства в матане это уже не просто хитрый трюк, позволяющий увидеть в некоторых случаях что-то интересное, а уже буквально часть языка. То есть если ты измерил в каждой точки своей комнаты температуру, давление, освещённость и влажность, то, с точки зрения матана, ты уже задал непрерывную функцию из трёхмерного пространства в четырёхмерное. И язык очень удобный, пока никто не жаловался.
Прикладуха
Стоит также напомнить, что помимо всего этого, многомерные пространства могут юзаться для моделирования системы с большим числом степеней свободы. Мегапиксельное изоображение, например, это точка в миллионмерном пространстве. Таким же образом можно интерпретировать звуковые волны, коробку с газом, экосистему, поток цифровых данных, испытания случайной величины, случайные стратегии в игре для двух человек и многое другое. И при этом мы нахаляву получаем для всех этих случаев такие концепты как выпуклость, расстояние, линейность, замена переменных, системы координат, ортогональность, внутреннее произведение, которые при подобном моделировании, зачастую, имеют очень естественный смысл.
Физика
Отдельного упоминания заслуживает физика. Во-первых уже упоминавшиеся теория относительности и механика, где используют модель четырёхмерного пространства-времени, правда со слегка иными понятиями «расстояния» и «угла», нежели в стандартном четырёхмерном, из-за чего время и пространство в таких четырёхмерных штуках становятся неравноправны. Во-вторых всякие фазовые пространства и конфигурационные пространства в механике и теории динамических систем, например: состояние маятника задаётся одним параметром — своим углом, а если маятников уже четыре, то можно считать, что состояние задаётся точкой в четырёхмерном пространстве (которое, на самом деле, ещё и скручено в бублик). В-третьих всякая экзотика вроде теории струн и М-теории, в которых разобралось 3.5 человека и в которых вроде тоже что-то такое есть. Этим, конечно же, всё не исчерпывается.
Как представить?
Итак, можно ли представить четырёхмерное пространство в полной его красе и величии? Некоторые говорят, что после длительных упражнений им это удаётся, некоторые говорят, что удаётся только под веществами, а некоторые говорят, что продолжают мыслят лишь трёхмерными аналогами. Врут или нет — понять сложно, всё это относится к психоэмоциональной сфере и сфере ощущений. В любом случае, есть несколько приёмов, чтобы хотя бы чуть глубже понять и прочувствовать, как оно устроено.
Трюк флатландца
Сечения, проекции и введение времени
Представим, что мы двумерны и хотим увидеть трёхмерную сфеоу, как трёхмерные существа могут её нам показать? Они могут, например, разрезать трёхмерную сферу на две части изрисовать краской место разреза и приложить к нему двумерный экран таким образом, чтобы место разреза на нём отпечаталось. Ещё одна аналогия — рентген или томография. В результате разреза мы увидим окружность. Если так делать последовательно и много раз, то есть «пропускать» сферу через плоскость, то мы увидим, как появляется точка, разрастается в окружность, затем снова сжимается до точки и затем исчезает. Это называется сечение.
Ещё они могут взять трёхмерный кубик и посветить на него мощным прожектором так, чтобы тень этого кубика попала на двумерный экран. Ну или тупо перерисовать его, как на уроках стереометрии. Это называется ортогональная проекция. Сечения и ортогональные проекции четырёхмерных объектов на трёхмерные линейные пространства строятся путём решения нехитрых уравнений, однако тебе всего этого делать не надо, ибо уже сделано до тебя и есть куча красивых картинок, видюшек и мелких утилит, позволяющих наблюдать результат воочию.
Чтобы всё выглядело ещё красивее можно ещё параметризовать ту трёхмерную гиперплоскость, на которую мы проектируем или которой разрезаем временем и получить мультик или гифку.
Дискретизация, диаграммы и прочие мелкие вещи
Вместо того, чтобы мыслить о непрерывном четырёхмерном пространстве можно мыслить о дискретном; можно рисовать диаграммы Шлегеля; фигуру в четырёхмерном пространстве можно мыслить как машинку, которой даёшь на вход четыре числа, а она возвращает ответ — принадлежит ли точка с такими координатами фигуре или нет, но это всё тонкости, в принципе-то.
Решение задач
Единственный годный способ, включающий все предыдущие. Чтобы познакомиться с математическим понятием, нужно отрешать много задач, использующие это понятие, тогда из кусков этих задач начнет складываться правильная картина. Это, на самом деле, не так сложно, и даже может принести тебе удовольствие. Если забыто всё со школьной программы кроме того, как складывать и умножать натуральные числа, можно начать с подтягивания оной по книгам Гельфанд Шень «Алгебра» и Шень «Геометрия», далее можно попробовать учебник Смирнова «Четырёхмерная геометрия», если пойдёт хорошо, то перейти к Прасолов Тихомиров «Геометрия». Это не единственный возможный комплект учебников, но это и не особо важно, если ты всерьез взялся за самообразование по части четырёхмерия или любой математики вообще, то главное — не стесняйся коммуницировать с задротами, которые убили на это большую часть своей жизни. Они обитают тут или тут и, вообще говоря, довольно дружелюбны, наверное.
И дальше
То, о чём говорилось всю статью называется четырёхмерным евклидовым пространством, «евклидовость», если совсем грубо, обозначает равноправность всех осей. Разумеется точно так же можно ввести и пятимерные и пятнадцатимерные евклидовы пространства. Однако бывают пространства и неевклидовые, такие используются, например в СТО (псевдоевклидовы пространства Минковского) и классической механике (пространства с галилеевой структурой), есть и другие геометрии. Помимо этого пространства можно кривить, скручивать, дырявить, склеивать с самим собой и с другими пространствами, можно определять пространства в которых вообще невозможно ввести понятия «угла» и «расстояния», можно определять пространства с дробными и бесконечными размерностями (на последних построен так называемый функциональный анализ, который очень любят в квант. мехе и без которого не было бы джипега, аудио и видео кодеков и фильтров в фотошопе), можно делать ещё много всего, на всём этом построено большое число математических наук, которые даже среди хардкорных матанщиков мало кто понимает. В частности, Перельман стал известен за то, что классифицировал некоторый класс трёхмерных пространств.
Фричество на почве
Как и любое умное понятие, будоражащее сознание обывателя тут не обошлось без шарлатанов, философов и просто людей, которые поехали на теме. Всё как обычно — либо люди, еле-еле закончившие школу с тройками, которые увидев что-то непонятное вместо того, чтобы разобраться в теме пишут что-то вроде: «Хуйня, я эт все картинки могу в 3д максе за 20 рублей нарисовать))»; либо поехавшие вроде Катющика, не верящих в отрицательные числа и пытающихся донести до человечества, что наука пошла совсем не по тому пути, по которому хотелось бы им, либо поехавшие на астрале, боге, иных измерениях (очень вписывается!) и чём-то подобном. Общее правило такое: если ты нашёл какой-то ролик на ютубе, в котором рассказывается про четырёхмерное пространство, с большой вероятностью это хуйня, даже если там 200 тысяч просмотров и столько же лайков. На крайний случай, о содержании ролика лучше спросить на вышеуказанных сайтах для матанских задротов, там всё пояснят по хардкору. Типичные примеры:
| | |
В культуре и вообще
Во всякой литературе затрагивается очень часто, начиная от Братьев Карамазовых и заканчивая тонной сайфая. Из игр, пожалуй, следует упомянуть Miegakure в которой тема раскрыта довольно неплохо. В "Интерстеллар" гг побывал аж в пятимерном кубе, в фильме "Куб 2: Гиперкуб" главные герои весь фильм бродят по четырёхмерному кубу и с ними случаются разные странные вещи.
См. также
Ссылки
- Dimensions, cерия годных роликов, где под незатейливый эмбиент рассказывают о разных крутых штуках в математике, в том числе и о сабже.
- Флатландия, годный рассказ с картинками на тему.
Примечания
- ↑ Как это обычно бывает в истории науки, Декарт придумал немного не то, да и не один Декарт, видимо к этому был причастен Ферма и ещё сотни имён, канувших в лету истории.